कक्षा 10वी गणित अध्याय-6 (प्रश्नावली-6.3)

Ultimate Mind-blowing NCERT Class 10 Math 6.3 Solutions(प्रश्नावली 6.3).

कक्षा 10वी गणित अध्याय-6 (प्रश्नावली-6.1)

प्रश्न 1:  बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कोण – कोण से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग अपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल (i) :
ΔABC तथा ΔPQR में-
      ∠ABC = ∠PQR = 80°
      ∠BAC = ∠QPR = 60°
      ∠ACB = ∠PRQ = 40°
  ∴ AAA समरूपता कसौटी से-
       ΔABC ~ ΔPQR

Ultimate Mind-blowing NCERT Class 10 Math 6.3 Solutions

 हल (ii) :
 ΔABC तथा ΔQRP में-
        AB/QR = BC/PR = AC/PQ = 1/2
  ∴ SSS समरूपता कसौटी से
         ΔABC ~ ΔQRP

Two triangles, ABC and PQR, both labeled with angles 60°, 80°, and 40°, demonstrating angle-wise similarity.

 हल (iii) :
 त्रिभुजो का यह युग्म समरूप नहीं है क्युकी सांगत भुजाये समानुपाती नहीं है |

Two triangles, △MLP with sides 2, 2.7, 3 and △DEF with sides 4, 5, 6, showing proportional side lengths for similarity.

 हल (iv) :
 त्रिभुजो का यह युग्म समरूप नहीं है क्युकी सांगत भुजाये समानुपाती नहीं है |

Two triangles, △MNL with sides 2.5 and 5 and angle 70°, and △PQR with sides 6 and 10 and angle 70°, illustrating SAS similarity.

 हल (v) :
 त्रिभुजो का यह युग्म समरूप नहीं है क्युकी सांगत भुजाये समानुपाती नहीं है |

Two triangles, △ABC with sides 2.5, 3 and angle 80°, and △DEF with sides 5, 6 and angle 80°, demonstrating the SAS similarity criterion.

 हल (vi) :
 ΔDEF में,
           ∠D + ∠E + ∠F = 180°
           ⇒ 70° + 80° + ∠F = 180°
           ⇒ ∠F = 30°
इसीप्रकार, ΔPQR में,
           ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
           ⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°
           ⇒ ∠P = 70°
ΔDEF और ΔPQR में,
          ∠D = ∠P [प्रत्येक 70°]
          ∠E = ∠Q [प्रत्येक 80°]
          ∠F = ∠R [प्रत्येक 30°]
∴ ΔDEF ~ ΔPQR [AAA समरूपता कसौटी से]

Two triangles, DEF and PQR, each marked with angles 70°, 80°, and 30°, illustrating all angles for triangle similarity using the AAA criterion.

प्रश्न 2: आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल 2:
DOB एक सरल रेखा है।
∴ ∠DOC + ∠COB = 180°
⇒ ∠DOC = 180° – 125° = 55°
∠DOC में,
∠DCO + ∠CDO + ∠DOC = 180°
⇒ ∠DCO + 70° + 55° = 180°
⇒ ∠DCO = 55°
दिया है, ΔODC ~ ΔOBA.
∴ ∠OAB = ∠OCD [समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]
∴ ∠OAB = 55°

Intersection diagram of two straight lines AB and DC with crossing lines at point O, angles shown as ∠CDO = 70° and ∠BOC = 125°.

प्रश्न 3 :  समलंब ABCD, जिसमें AB // DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिछेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि OA/OC = OB/OD है।

हल 3:
दिया है : समलंब ABCD, जिसमें AB // DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिछेद करते हैं |
सिद्ध करना है : OA/OC = OB/OD
प्रमाण : AB // CD दिया है
         ∴ ∠ABO = ∠DCO (एकांतर कोण) …(1)
अब ΔAOB तथा ΔCOD में
         ∠ABO = ∠DCO (समीकरण (1) से)
         ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
A.A समरूपता कसौटी से
         ΔAOB ~ ΔCOD
         OA/OC = OB/OD (समरूप त्रिभुजों के संगत भुजा समानुपाती होते हैं|)
                       Proved

A trapezium ABCD with parallel sides AB and DC, diagonals AC and BD intersecting at point O.

प्रश्न 4: आकृति में, QR/QS = QT/PR तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।

हल 4 :
दिया है : QR/QS = QT/PR तथा ∠1 = ∠2 है |
सिद्ध करना है : ΔPQS ~ ΔTQR
प्रमाण : ΔPQR में,
            ∠1 = ∠2 (दिया है)
           ∴ PQ = PR (बराबर कोणों की सम्मुख भुजा) —(1)
और      QR/QS = QT/PR (दिया है)
या,        QR/QS = QT/PQ [समीकरण (1) से] ———- (2)
ΔPQS तथा ΔTQR में
             QR/QS = QT/PQ [समीकरण (2) से]
           ∠1 = ∠1 (उभयनिष्ट)
SAS समरूपता कसौटी से
            ΔPQS ~ ΔTQR
                           Proved

A geometric diagram showing triangles PQS and TQR within quadrilateral PQTRS, with marked angles ∠1 and ∠2.

 प्रश्न 5: ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दिखाईए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है।

हल :
दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है |
सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS
प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,
         ∠P = ∠RTS(दिया है )
         ∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से-
         ΔRPQ ~ ΔRTS

                                 PROVED.

A triangle PQR with points S on PR and T on QR, showing the construction of two similar triangles RPQ and RTS.

प्रश्न 6:
आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD हैं कि है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।

हल:
दिया है : ΔABE ≅ ΔACD है
सिद्ध करना है : ΔADE ~ ΔABC
प्रमाण : ΔABE ≅ ΔACD (दिया है)
        ∴ AB = AC [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ] ——–(1)
और, AD = AE [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ] ———–(2)
ΔADE और ΔABC में,
        AD/AB = AE/AC [समीकरण (1) और (2) से]
       ∠A = ∠A [उभयनिष्ठ]
∴ ΔADE ~ ΔABC [SAS समरूपता कसौटी से]

                                              Proved.

A triangle ABC with segments AD and AE drawn from A to sides BC, with D and E marked, illustrating triangles ADE and ABC for similarity.

प्रश्न 7: आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिछेद करते हैं तो दर्शाइए कि :
(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

हल 7:
दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिछेद करते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

प्रमाण:
(i)
ΔAEP और ΔCDP में,
∠APE = ∠CPD [शीर्षाभिमुख कोण]
∠AEP = ∠CDP [प्रत्येक 90°]
∴ ΔAEP ~ ΔCDP [AA समरूपता कसौटी से]
                                                 Proved.

(ii)
ΔABD और ΔCBE में,
∠ADB = ∠CEB [प्रत्येक 90°]
∠ABD = ∠CBE [उभयनिष्ठ]
∴ ΔABD ~ ΔCBE [AA समरूपता कसौटी से]
                                                  Proved.

(iii)
ΔAEP और ΔADB में,
∠AEP = ∠ADB [प्रत्येक 90°]
∠PAE = ∠DAB [उभयनिष्ठ]
∴ ΔAEP ~ ΔADB [AA समरूपता कसौटी से]
                                                  Proved.

(iv)
ΔPDC और ΔBEC में,
∠PDC = ∠BEC [प्रत्येक 90°]
∠PCD = ∠BCE [उभयनिष्ठ]
∴ ΔPDC ~ ΔBEC [AA समरूपता कसौटी से]

                                                   Proved.

Four triangles drawn inside triangle ABC, each showing intersections of lines AD and CE at point P with right angles marked at E and D.

प्रश्न 8: समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा भुजा CD को पर प्रतिछेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।

हल 8:
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिछेद करती है।
सिद्ध करना है : ΔABE ~ ΔCFB
प्रमाण : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
            ∠AEB = ∠CBE ———(1) [एकांतर कोण]
अब,     ΔABE तथा ΔCFB में,
           ∠AEB = ∠CBE [समी0 (1) से ]
           ∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
            ΔABE ~ ΔCFB [A.A समरूपता कसौटी से]

                                                             Proved.

A parallelogram ABCD with its extended side AD meeting point E, and line BE intersecting side CD at point F.

प्रश्न 9: आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) AB/PQ = AD/PM

हल:
दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिसके कोण B और M समकोण हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) AB/PQ = AD/PM

प्रमाण :
(i) ΔABC तथा ΔAMP में
         ∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
         ∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ~ ΔAMP [A.A समरूपता कसौटी से]
                                                        Proved.
(ii) CA/PA = BC/MP
चूँकि समरूप त्रिभुज के सांगत भुजाये समानुपाती होती है|
                                                        Proved.

Triangle ABC with right angle at B and triangle AMP with right angle at M, both sharing vertex A, and lines BC and MP perpendicular to AP.

प्रश्न 10:
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दिखाइए कि:
(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGF

हल:
दिया है: CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है।
सिद्ध करना है : (i) CD/GH = AC/FG
                       (ii) ΔDCB ~ ΔHGE
                       (iii) ΔDCA ~ ΔHGF

प्रमाण : ΔABC और ΔFEG में-
                  ΔABC ~ ΔFEG (दिया है]
                  ∠A = ∠F             [समरूप त्रिभुज के संगत भुजा बराबर होता है|]
                  ∠B = ∠E             [समरूप त्रिभुज के संगत भुजा बराबर होता है|]
          और, ∠C = ∠G            [समरूप त्रिभुज के संगत भुजा बराबर होता है|]
               ∴ ∠ACD = ∠FGH  [CD और GH समान कोणों के कोण समद्विभाजक हैं]
          और, ∠DCB = ∠HGE  [CD और GH समान कोणों के कोण समद्विभाजक हैं]

अब, ΔACD और ΔFGH में,
                  ∠A = ∠F               [ऊपर सिद्ध किया गया है]
                  ∠ACD = ∠FGH    [ऊपर सिद्ध किया गया है]
                ∴ ΔACD ~ ΔFGH  [AA-समरूपता कसौटी से]
                ⇒ CD/GH = AC/FG
                                         Proved.
(ii) ΔDCB और ΔHGE में,
                   ∠DCB = ∠HGE   [ऊपर सिद्ध किया गया है]
                   ∠B = ∠E              [ऊपर सिद्ध किया गया है]
                 ∴ ΔDCB ~ ΔHGE [AA-समरूपता कसौटी से]
                                         Proved.

(iii) ΔDCA और ΔHGF में,
                 ∠ACD = ∠FGH    [ऊपर सिद्ध किया गया है]
                 ∠A = ∠F               [ऊपर सिद्ध किया गया है]
                ∴ ΔDCA ~ ΔHGF [AA-समरूपता कसौटी से]
                                         Proved.

Two triangles, one labeled ABC with a point D inside, and one labeled FEG with a point H inside, connected by lines representing angle bisectors.

प्रश्न 11:
आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD⊥BC और EF⊥AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है।

हल:
दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD⊥BC और EF⊥AC है|
सिद्ध करना है : ΔABD ~ ΔECF
प्रमाण : ΔABC में,
   AB = AC (दिया है)
 ∴ ∠B = ∠C ———(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब, ΔABD तथा ΔECF में
   ∠ADB = ∠EFC  (प्रत्येक 90°)
   ∠B = ∠C [समीकरण (1) से]
  A.A समरूपता कसौटी से-
      ΔABD ~ ΔECF 
                      Proved.

Geometric diagram showing triangle ABC with height AD and points E and F; E lies on extended BC, and EF is drawn perpendicular to AC.

प्रश्न 12: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा मध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा मध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

हल:
दिया है : त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा मध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा मध्यिका PM के समानुपाती हैं।
सिद्ध करना है: ΔABC ~ ΔPQR
प्रमाण :
           AB/PQ = BC/QR = AD/PM ……. (दिया है)
अथवा, AB/PQ = 1/2BC / 1/2QR = AD/PM
अथवा, AB/PQ = BD/QM = AD/PM ——–(1)
(चूंकि मध्यिकाएँ AD और PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं।)
अब,    ΔABD तथा ΔPQM में,
          AB/PQ = BD/QM = AD/PM (समी० (1) से)
ΔABD ~ ΔPQM (S.S.S समरूपता कसौटी से)
          ∴ ∠B = ∠Q ———(2)
अब, ΔABC तथा ΔPQR में
          AB/PQ = BC/QR (दिया है)
और, ∠B = ∠Q (समी० (2) से)
ΔABC ~ ΔPQR (S.A.S समरूपता कसौटी से)
                            Proved.

Two triangles, ABC and PQR, with medians AD and PM drawn from vertices A and P to sides BC and QR, respectively.

प्रश्न 13: एक त्रिभुज की भुजा पर बिंदु इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।

हल 13:
दिया है : त्रिभुज ABCकी भुजा पर एक बिंदु D इसप्रकार स्थित है की
∠ADC = ∠BAC है
सिद्ध करना है: CA² = CB × CD
        ΔADC और ΔBAC में,
       ∠ADC = ∠BAC [दिया है]
       ∠ACD = ∠BCA [उभयनिष्ठ]
       ∴ ΔADC ~ ΔBAC [AA समरूपता कसौटी से]
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं। इसलिए
       CA/CB = CD/CA
       ⇒ CA² = CB × CD
                           Proved

 

Triangle ABC with point D on side BC and segment AD drawn from vertex A to point D.

प्रश्न 14: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाएँ PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

हल 14:
दिया है, AB/PQ = AC/PR = AD/PM AD और PM को क्रमशः बिंदु E और L तक इस प्रकार बढ़ाया ताकि AD = DE तथा PM = DE हो। B को E से, C को E से, Q को L से और R को L से मिलाइए। AD और PM त्रिभुजों की मध्यिकाएँ हैं।
सिद्ध करना है: ΔABC ~ ΔPQR है।

चूँकि AD और PM त्रिभुजों की मध्यिकाएँ हैं।                                                  इसलिए BD = DC और QM = MR
    तथा, AD = DE [रचना से]
    और, PM = ML [रचना से]

चतुर्भुज ABEC भी, विकर्ण AE और BC एक-दूसरे को बिंदु D पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।

इसी प्रकार, PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AC = BE और AB = EC तथा PR = QL और PQ = LR
दिया है,
       AB/PQ = AC/PR = AD/PM
       ⇒ AB/PQ=BE/QL=2AD/2PM
       ⇒ AB/PQ=BE/QL=AE/PL
       ⇒ ΔABE ~ ΔPQL [SSS समरूपता कसौटी से]
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
      ∠BAE = ∠PQL ——(1)
इसी प्रकार ΔAEC ~ ΔPLR और
      ∠CAE = ∠RPL ——(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर
      ∠BAE + ∠CAE = ∠QPL + ∠RPL
      ⇒ ∠CAB = ∠RPQ —3)
ΔABC और ΔPQR में,
     AB/PQ = AC/PR (दिया है)
     ∠CAB = ∠RPQ [समीकरण (3) से]
   ∴ ΔABC ~ ΔPQR [SAS समरूपता कसौटी से]

 

Diagrams showing triangles ABC and PQR with medians, and parallelogram constructions for geometric proofs.

प्रश्न 15: लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल 15:
माना CD स्तंभ है और AB मीनार है।
अतः DF स्तंभ की छाया है और BE मीनार की छाया है।

ΔABE और ΔCDF में,
          ∠DCF = ∠BAE [एक ही समय पर सूर्य का कोण]
          ∠CDF = ∠ABE [प्रत्येक 90°]
          ∴ ΔABE ~ ΔCDF [AA समरूपता कसौटी से]
             AB/CD = BE/DF
             ⇒ AB/6 = 28/4
             ⇒ AB = (28/4) × 6
             ⇒ AB = 42 m
             इसलिए, मीनार की ऊँचाई 42 m है।

Two right-angled triangles, one showing a tower with height labeled 6 m and shadow 4 m, and the other showing a minaret with unknown height and shadow length labeled 28 m.

प्रश्न 16: AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं,                  जबकि ΔABC ~ ΔPQR है। सिद्ध कीजिए कि AB/PQ = AD/PM है।

हल 16:
दिया है : AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएं हैं,       जबकि ΔABC ~ ΔPQR है |
सिद्ध करना है : AB/PQ = AD/PM

प्रमाण : ΔABC ~ ΔPQR दिया है |
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए,
         AB/PQ = AC/PR = BC/QR ———-(1)
तथा, ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R ——-(2)
         AD और PM त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं।
इसलिए,
         BD = BC/2 और QM = QR/2 ——– (3)
समीकरण (1) और (3) से-
         AB/PQ = BD/QM —— (4)
ΔABD और ΔPQM में,
         ∠B = ∠Q [समीकरण (2) से]
          AB/PQ = BD/QM [समीकरण (4) से]
         ∴ ΔABD ~ ΔPQM
AB/PQ = BD/QM = AD/PM [SAS समरूपता कसौटी से]

 

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